10. 논리회로 - 부울대수와 논리식의 간편화

1. 실무 적용 사례 

- 우선 실무 적용 사례를 통해서 부울대수와 진리표에 대해서 간략하게 알아보자. 

 

 

- 단일 비트(한자리 비트) 연산을 할 때  S는 a + b 값을 담는다. 

- C는 Carry라고 부르며 1 + 1를 연산하면 발생하는 초과값을 담는다. 

- 진리표는 단일 비트 계산의 모든 경우의 수를 적은 표를 말한다. 

 

 

- 부울대수는 S 값에 대한 관계를 표현한 식이다. 

- 부울대수를 확인하면 배타적 논리합이라는 것을 알 수 있는데, 이는 S값을 보면 된다. 

- 0 + 0 일 때 0이고 1 + 0 또는 0 + 1일 때 1이 나오는 배타적 논리합 관계인 것을 알 수 있다. 

- C계산 과정도 논리 곱의 형태라는 것을 알 수 있다. 

 

 

- 이를 기반으로, 단일비트 합에 대한 연산을 논리 회로로 구성을 하면 위와 같이 나온다. 

- 감이 오는가? 그렇다면 더 자세히 알아보자. 

 

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2. 부울대수(Boolean Algebra)란?

- Boolean Algebra를 해석하면 논리 연산이라는 것을 알 수 있다.

- 즉, True와 False를 이용하여 논리적 명제를 수학적으로 표현한 것이다.

- 쉽게 말하자면, 집합의 개념과 동일하다. 집합으로 이해하자.  

- 이는 1845년 영국의 수학자 G.Boole에 의해 정립된 개념이다. 

 

a) 부울대수의 사용

- 부울대수는 다음과 같이 사용된다. 

▶ 논리회로의 형태와 구조를 표현할 때

▶ 진리표의 관계를 수식으로 표현할 때

▶ 동일한 성능에 대해, 더 간단한 회로를 만들 때

 

3. 부울대수의 기본법칙

- 부울대수는 다음 4가지 법칙을 기반한다.

 

▶ 교환 법칙(commutative Law)

▶ 결합 법칙(Associate Law)

▶ 분배 법칙(Distributive Law)

▶ 드모르간의 정리(De Morgan's Law)

 

a) 교환법칙

▶ A * B = B * A 

▶ A + B = B + A 

 

- 집합으로 표현하면 다음과 같다.

 

- 논리 회로로 표현하면 다음과 같다.

 

b) 결합법칙

▶ A * (B * C) = (A * B) * C

▶ (A + B) + C = A + (B + C)

 

- 집합으로 표현하면 다음과 같다. 

 

- 논리 회로로 표현하면 다음과 같다.

 

c) 분배법칙

▶ A * (B + C) = AB + AC

 

- 집합으로 표현하면 다음과 같다. 

 

- 논리 회로로 표현하면 다음과 같다.

 

d) 드모르간의 법칙

- 저 머리위의 작대기는 NOT을 의미한다. 즉, 여집합이다. 

- 다른 말로 보수를 취한다고 한다. 

- A가 1이면 A 바는 0이 된다. 

 

- 집합으로 표현하면 다음과 같다. 

 

- 논리 회로로 표현하면 다음과 같다.

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3. 부울대수를 이용한 논리식의 간편화

- 다음의 식을 간편화 / 간략화 해보자. 

E = (a' + bc)(a + b)

 

- 분배 법칙으로 통해 식을 전개해보자. 

E = aa' + a'b + abc + bbc

- aa' 는 0이 되므로 생략이 가능하다. 

- aa' 가 0이 되는 이유는 a가 1인 경우 a'는 0이고 ark 0인 경우 a'는 1이기 때문이다. 

- 그러므로 aa'의 논리곱은 0이 나올 수 밖에 없다. 

 

E = a'b + abc + bc

- bbc가 bc로 바뀌었다. 

- b가 1인 경우 b*b = 1이 된다. 

- b가 0인 경우 b*b = 0이 된다. 

- 그러므로 b*b = b와 동일하다. 

 

E = (a + 1)bc + a'b

- 결합법칙을 이용하여 공통부를 묶어준다. 

 

E = bc + a'b

- (a + 1) 부분이 생략되었다. 그 이유는 다음과 같다.

- a가 1인 경우, (a + 1) = 1 + 1이 된다. 즉, 1이다.

- a가 0인 경우, (a + 1) = 0 + 1이 된다. 즉, 1이다. 

- 그러므로 (a + 1) * bc 는 1 * bc와 동일하기 때문에 생략된다. 

 

E = (a' + bc)(a + b)
E = bc + a'b

- 최종적으로 다음과 같이 간략화 되었다. 

- 간략화를 하게 되면 논리 회로를 설계할 때, 더 짧은(= 간단한) 회로를 구성할 수 있다.